その後、扶養をはずさないまま失業保険の支給を２ヶ月間受けた後、出産の為一旦受給をストップしました。扶養手当等の返納について２年ほど前、妻が結婚により会社を退職し、私の扶養になりました。

会社を退職しました。親父は、退職して、今は無職で国民健康保険に加入しています。親父は月々25000円国民健康保険のお金を引かれています。私は昨年年収が260万円でした。
退職後当分無職です。失業保険を貰う可能性が大きいです。

辞めた会社の保険の任意継続にするか、親父の国民健康保険の扶養になるか、
どちらのほうがお得でしょうか？

任意継続だと毎月13000円になるそうです。

まず、国保には扶養はありません。あなた自身が国保に加入するかどうかと言うことです。
役所へ行って任意とどっちが安いか聞いて比べてみて下さい。

補足について：ですから国保には扶養はありません。同世帯なら世帯主にまとめて請求がくるだけです。
ただし、もし会社都合で辞めたのであれば国保の減免などの措置があるかもしれませんが。

扶養手当等の返納について
２年ほど前、妻が結婚により会社を退職し、私の扶養になりました。その後、扶養をはずさないまま失業保険の支給を２ヶ月間受けた後、出産の為一旦受給をストップしました。そして、２年後の現在、再度受給を受けはじめたのですが、今回は扶養をはずす手続きをしました。そうしたところ、扶養は、2年前にさかのぼって外され、その間の扶養手当は、失業保険の支給期間のみならず、２年間分の返納および、２年間保険対象外となり医療費も差額（７割）を支払い、更に国民年金も２年分支払うことになると言われたのですがその通りなのでしょうか。そうなると、相当の出費になるのですが回避する方法は無いでしょうか？

扶養手当の返納と国民年金の納付については回避することはできないと思います。
医療費に関しても保険対象外だった期間の分は返還しないといけませんが、そのぶ
んさかのぼって国民健康保険に入り、その間の保険料を支払えば医療費の７割は
もどってくるはずです。

失業保険受給についてですが、
自主退社の場合、勤務１年未満の場合は1日満たないだけでももらえないと聞きました
うちの会社の締日は20日ですが、勤務始めたのは22からです。
この場合は21まで働けば1年になりますか？

年ではなく、離職日より2年で、12ヶ月の加入です、加入月の求め方は、雇用保険加入日からでなく、離職日から遡ります、離職日が20日なら30日遡って、その30日間に労働した日が11日あれば、加入期間1ヶ月と認定されます、
だんだん遡って、計算して下さい。

失業保険、出産手当金は一度扶養にはいっても受給できますか？
8月1日出産予定のため、6月30日付で会社を退社し7月1日から旦那の組合保険の扶養に入ろうと思っています。

失業保険、出産手当金受給期間の延長申請すれば一度旦那の扶養に入っても受給前に扶養から抜けさえすれば受給することは可能でしょうか？

ちなみに7月1日から扶養に入り、来年1月に一度扶養から抜け受給し、終了後また扶養に入ろうと思っています。

産後２ヶ月で手当て金は貰ってから扶養→扶養から抜いて失業保険受給しました。
手当て金に関しては、社会保険庁に聞いた方がいいです、制度ががらりと変わってますからここの回答はあてになるかならないか微妙ですね。あと会社の総務なんかもなかなか詳しくないです…。多分大丈夫だとは思いますが。
年金窓口はこんでますが、保険はわりとすいてますよ。