2008年6月に雇用保険に加入していれば、契約社員であろうと、失業保険はもらえます。妊娠中とありますが、妊娠のために退職するのならば自己都合ではなくなります。

失業保険の受給資格について。
私は今月末で退職します。(正社員)

失業保険の受給資格はあるのですが、すぐにパートの労働を開始した場合は受給できないのでしょうか？

自己都合での退職なら、まず申請後7日間の待機期間＋3ヶ月の給付制限期間があります。

で、そもそも雇用保険の受給資格は現に失業状態であると認められなければなりません。
単に保険料払ってるからって問答無用で貰えるわけじゃないんで悪しからず。

2008年3月に入社し、試用期間を経て６月より契約社員となりました。
もちろん同時に社会保険も加入しています。
そして今年の７月末で自己都合で退職します。

契約社員でも職安に申請すれば失業保険は給付されるのでしょうか？

妊娠もしたため、しばらくは働けません。

ご回答お願い致します。

2008年6月に雇用保険に加入していれば、契約社員であろうと、失業保険はもらえます。１年以上加入期間があれば、どんな身分でも大丈夫です。

妊娠中とありますが、妊娠のために退職するのならば自己都合ではなくなります。自己都合ならば給付制限と言って、失業保険を申請しても最初の1～3ヶ月はもらえず待たなければならないのですが、妊娠が理由なら、待つ必要がなくなります。
しかしながら、失業保険は働ける状態なのに働けない人のみ貰えます。なので妊娠中は働ける状態ではないので、失業保険を申請できません。出産後、働ける状態になってから申請することになります。しかし、失業保険は退職後１年以内にもらわなければなりません。
ここでひとつポイントなのが、退職して１ヶ月以内に「受給期間の延長の申請」をして下さい。これをしておけば、１年が延長され、出産後ゆっくり失業保険をもらえます。しかも給付制限なしなので、申請すればもらえます。

一度ハローワークに確認されて下さい。どんな方法が質問者様にとって一番良いか教えてくれると思います。

昨年いっぱいで15年勤めた会社を退職しました。すぐ就職した場合以前勤めた会社の失業保険は、どうなるのでしょう？
職業安定所から一番効率良くお金をもらう方法を教えて下さい。

退職理由が自己都合か解雇なのかわかりませんが
どちらにしても
すぐ就職がきまれば失業保険はもらえません

失業保険（たぶん雇用保険のことだと思います）は
次の会社もかけてもらえるなら１年以内なら
継続されます

失業保険についてお尋ねします。パートの契約満了が3月末までで、更新なしになりました。2年半つとめました。その場合、すぐに失業保険はおりますか？
おりないなら、3月10日が締日なので辞めようかと悩んでます。よろしくお願いいたします。

３年未満の期間の定めのある雇用者は、期間満了退職で、3ヶ月の給付制限は付きません、これは自ら更新しなかった場合にも適用されます。
期間満了が条件ですので、必ず契約期間を全うして下さい。